Francesco Bonaldi (Milano) - Simulation du couplage élasto-acoustique par une méthode Galerkin discontinue sur des maillages généraux

Dans cet exposé, on s’intéresse au développement et à l’analyse d’une méthode Galerkin discontinue (dG) pour la discrétisation en espace d’un problème d’évolution modélisant la propagation couplée d’ondes (visco)élastiques et acoustiques. Ce type de problème se présente, par exemple, dans un contexte géophysique, c’est-à-dire dans la modélisation et simulation d’événements sismiques dans des aires proches d’environnements côtiers. D’autres cadres où ce problème joue un rôle majeur sont représentés par la modélisation de capteurs ou actionneurs immergés dans un fluide acoustique, ou bien par la médecine à ultrasons. Dans les applications pratiques, la géométrie du domaine de calcul est remarquablement irrégulière et complexe ; considérer un maillage conforme entraînerait donc un coût de calcul très élevé. On est donc amené à envisager une discrétisation basée sur des éléments polyédriques, de telle façon à pouvoir reproduire les contraintes géométriques dans une mesure raisonnable de précision, sans être au même temps trop chère en termes de calcul. La capacité de la méthode dG de gérer des maillages polyédriques a été récemment démontrée.

Dans une première partie, nous présentons rapidement un résultat d’existence et unicité de la solution pour la formulation mathématique du problème. Nous introduisons alors le cadre discret, en remarquant particulièrement les hypothèses sur le maillage polyédrique, et montrons un résultat de stabilité dans une norme d’énergie opportune pour la formulation du problème semi-discret. Ensuite, nous donnons des résultats de convergence hp (avec h et p désignant, comme d’habitude, le pas de maillage et le degré polynômial) pour l’erreur dans la même norme d’énergie. Enfin, nous présentons des expériences numériques effectuées dans un cadre bidimensionnel pour valider les résultats théoriques. Une simulation d’un problème d’intérêt physique, où le système est excité par une source ponctuelle dans le domaine acoustique, sera également présentée.

Dans une deuxième partie, nous présentons des résultats de validation dans un cadre 3D (convergence de la méthode dans des cas test mathématiques et physiques). Pour cela, les simulations ont été effectuées grâce au logiciel SPEED développé conjointement au laboratoire MOX et au Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICA) du Politecnico di Milano.

L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Paola F. Antonietti et Ilario Mazzieri (Politecnico di Milano).