Sébastien Brisard (Laboratoire Navier, Marne-la-Vallée). Quelques réflexions sur la théorie des coques.

Le cours de «Plaques et Coques» de l'École des Ponts ParisTech est un enseignement optionnel de troisième année, dont j'ai la charge pour la deuxième année. J'ai construit ce cours en m'appuyant sur environ quinze ans d'expérience comme chargé de travaux dirigés dans le cours «Coques et Structures Avancées» dont Philippe Bisch était précédemment responsable.

L'enseignement principal retiré de cette expérience est que le formalisme des coordonnées curvilignes est un outil élégant… dont la maîtrise nécessite bien plus de temps que les 13 séances allouées à ce cours ! Le cours de coques est donc maintenant présenté en adoptant une formulation *intrinsèque*. Un tel choix a nécessité de revisiter complètement la théorie des coques, à commencer par la géométrie différentielle sur les surfaces, pour laquelle on introduit un opérateur de gradient, et la formule de Stokes permettant de procéder aux nécessaires intégrations par parties. Cette réécriture de la théorie représente un effort conséquent, mais la récompense est grande ! On aboutit en effet à une formulation (généralement) plus compacte et (toujours) moins ambigüe. De plus, la formulation ainsi obtenue est très proche de la mécanique du milieu continu telle qu'elle est enseignée en deuxième cycle. En particulier, on redonne à l'application linéaire tangente un rôle central, alors qu'elle est transparente dans une formulation en coordonnées curvilignes.

L'autre choix majeur de ce cours est l'abandon d'une approche «en déplacements» (dans laquelle une cinématique est postulée), au profit d'une approche «en contraintes». Dans cette approche, les contraintes généralisées émergent naturellement de l'équilibre d'une famille (bien choisie) de sous-systèmes de la coque. Ce choix a pour but de distinguer nettement la statique des coques et leur comportement, qui n'est introduit que dans un deuxième temps. Il permet également de mettre en évidence des contraintes généralisées lagrangiennes (analogues du tenseur des contraintes de Piola de seconde espèce) et eulériennes (analogues du tenseur des contraintes de Cauchy… à quelques subtilités près !), , ou encore de revisiter l'interprétation classique de l'effort tranchant réduit de Kirchhoff.

Dans cet exposé, je présenterai les conséquences de ces choix pédagogiques, en passant en revue les principales étapes de la formulation de la théorie des coques (géométrie, équilibre, comportement, linéarisation). Je partagerai les questions que ces choix ont soulevées (dont certaines ne sont pas résolues !).