Bertrand Maury (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay & Département de Mathématiques et Applications de l'École Normale Supérieure). Modèles granulaires de mouvements de foules.

Nous nous proposons de donner un aperçu des différentes approches proposées ces 20 dernières années pour modéliser les foules en mouvement, et de décrire plus en détail une approche de type granulaire. Chaque individu est assimilé à un disque rigide auquel on affecte une vitesse spontanée (souhaitée par l’individu). Le champ de vitesse effectif est alors défini comme le plus proche de ce champ souhaité parmi les champs admissibles, i.e. qui ne violent pas la contrainte de non-chevauchement. Ce modèle, qui prend la forme d’un problème d’évolution de type granulaire suramorti, peut être également décliné dans un cadre macroscopique, basé sur une description de la foule par une densité assujettie à ne pas dépasser une valeur maximale fixée. La vitesse instantanée est alors à chaque instant solution d’un problème de type Darcy avec contrainte unilatérale. Dans les deux cas (micro et macro), l’évolution repose sur un champ de pression solution d’un problème de type Poisson, qui fait intervenir dans le cas macro le Laplacien standard, et dans le cas micro un opérateur de type Laplacien discret aux propriétés pathologiques. Nous montrerons en quoi ces propriétés pathologiques donnent une plus grande richesse au modèle microscopique, et permettent qu’il reproduise, mieux que le modèle macroscopique, certains effets paradoxaux observés expérimentalement, en particulier l’effet dit Faster is Slower (l’évacuation d’une foule au travers d’une sorte étroite peut être ralentie par une accélération de certains individus), et le fait qu’un obstacle en amont de la sortie puisse avoir un effet bénéfique sur la fluidité de l’écoulement.