Anne-Laure Dalibard (Laboratoire Jacques-Louis Lions) - Recirculation et singularités

Cet exposé sera consacré à l’étude des solutions de l’équation u u_x - u_{yy}=f dans un domaine 2d, qui est vue comme un « modèle-jouet » pour l’équation de Prandtl stationnaire. Le but est de construire des solutions changeant de signe (et donc comportant une bulle de recirculation), au voisinage de profils explicites, en perturbant le terme source et/ou les données au bord. Cette équation peut être vue comme une équation parabolique (de type « chaleur » ) dans le sens direct (forward) dans la zone où u est positive, et dans le sens rétrograde (backward) dans la zone où u est négative, ces deux zones étant séparées par la ligne où u=0, qui est une frontière libre.

On s’attendrait à ce que pour des données régulières (c’est-à-dire pour un terme source et des données au bord régulières), on puisse construire une solution régulière. Or, on peut montrer que ça n’est pas le cas : génériquement, même pour des données très régulières, les solutions possèdent des singularités au voisinage des points d’annulation de u sur les bords latéraux. La solution est régulière si et seulement si les données vérifient certaines conditions d’orthogonalité.

Ce phénomène est déjà présent pour des variantes linéaires de l’équation ci-dessus, mais perdure dans le cas non linéaire. 

Dans cet exposé, j’expliquerai la nécessité des conditions d’orthogonalité, et je présenterai les profils singuliers associés à l’équation. Je donnerai également quelques éléments sur la construction des solutions lorsque les conditions d’orthogonalité sont vérifiées.

Il s’agit d’un travail en commun avec Frédéric Marbach et Jean Rax.