Boris Desmorat, Amancio Fernandes, Arnaud Lazarus, Claire Lestringant, Corrado Maurini, Sébastien Neukirch, Angela Vincenti

1. Optimisation plaques et coques, validation numérique

En optimisation de structures composites, la prise en compte de l’anisotropie, de couplages et de distributions complexes de propriétés nécessite la mise en œuvre de formulations adaptées des problèmes d’optimisation. Notamment, une approche multi-échelle basée sur l’application de la représentation polaire a permis d’aborder l’optimisation de structures raidies de grande taille, typiques des applications aérospatiales, aussi bien en termes de la distribution des propriétés élastiques anisotropes, dans un contexte de structures composites à rigidité variable, que de chemin non-standard de raidissement [SIJ22] (Figure 1). Cette approche a aussi montré son efficacité dans l’étude de propagation d’incertitudes sur la réponse aéroélastique de structures composites, permettant de prendre en compte toutes les sources typiques d’erreurs (angles et épaisseurs des couches) sans aucune simplification sur la nature des empilements composites [NVC19]. 

En optimisation topologique de structures, la forme optimale est dépendante du type de fonction objectif (masse, rigidité,…), des contraintes d’optimisation prises en compte (critère de tenue, flambage,…), mais aussi des variables de conception. Dans le cas de la maximisation de la rigidité structurale mesurée par l’énergie de déformation, il a été montré [RIB19] que le cas anisotrope (optimisation à la fois des modules et des orientations élastiques) aboutit à des formes optimales plus performantes que celles obtenues dans le cas isotrope (Figure 2. De plus, afin de prendre en compte la masse ou des critères de tenue mécaniques (de type Tsai-Wu par exemple) dans le processus d’optimisation, la mise en œuvre numérique d’un algorithme à gradient (MMA) a rendu possible une optimisation dans le cadre de forte non-convexité associée aux champs d’orientation.

Les modèles numériques développés par la communauté de l’informatique graphique couvrent certains phénomènes de mécanique des solides, mais ces simulateurs graphiques étaient jusqu’à récemment essentiellement utilisés afin de simplement reproduire visuellement le comportement des structures. Aujourd’hui ces simulateurs graphiques sont de plus en plus prisés pour de nouvelles applications nécessitant des calculs prédictifs et de ce fait un besoin émerge, celui de valider le réalisme physique des codes d’informatique graphique. Nous avons donc sélectionné une série cohérente de tests, faisant intervenir du flambement de poutres, de coques, et du contact frottant, et nous avons soumis à ces tests une sélection d’une dizaine de codes connus en informatique graphique [RLR21].

 Figure 1 : Comparaison de calculs d’optimisation de coques cylindriques raidies avec différents matériaux constitutifs (Thèse F. Savine) [SIJ22]

Figure 2 : Optimisation simultanée de la forme et de l’anisotropie de la structure

2. Dynamique

Les études portant sur la dynamique des structures élastiques concernent les vibrations, l’instabilité de claquage, et les résonances paramétriques.

Concernant les vibrations, il a été montré que, bien que simplifiée par rapport à une cinématique exacte, la cinématique de von Karman pour les poutres peut être utilisée relativement loin dans le domaine du post-flambage et prédire (en gardant une erreur de moins de 20%) la déformée statique et les deux premiers modes de vibration [NYCT21].

Concernant l’instabilité de claquage, des études analytiques, numériques, et expérimentales ont été menées en vue de la réalisation de systèmes bistables pour une utilisation dans les cellules Braille (cellules à pico permettant la lecture par toucher). L’actionnement est réalisé par effet Laplace [AFP22] (force magnétique que ressent une poutre traversée par un courant électrique et plongée dans un champ magnétique transverse) ou à l’aide  de patchs piézoélectriques. A noter que la dynamique de claquage de la poutre dans le cas d’actionnement périodique peut se révéler complexe, voire chaotique [AFPM23].

Lorsque l’actionnement sur le système ne se résume pas à une pure force extérieure mais qu’il vient modifier un paramètre du système (par exemple longueur, ou rigidité), on parle de forçage paramétrique. Ce forçage peut stabiliser des états instables (pendule de Kapitza) ou déstabiliser des états stables (machines tournantes). Un premier système modèle a montré qu’on peut contrôler des instabilités d’ordre élevé (dans la 36ème langue d’Arnold, un record) et qu’on peut alors déclencher et maintenir un système dans des oscillations périodiques, intrinsèquement instables, avec un forçage minimal [GPL21]. Un second système modèle, un pendule inversé actionné par électroaimant,  fournit un exemple de stabilisation dans lequel l’électroaimant n’est en fonction que pendant une faible (parfois <20%) fraction de la période des oscillations (Figure 3)

Figure 3 : (gauche) Pendule de Kapitza, (droite) Schéma du banc de claquage par effet Laplace

[NYCT21] S. Neukirch, M. Yavari, N. Challamel, and O. Thomas. Comparison of the von Karman and Kirchhoff models for the post-buckling and vibrations of elastic beams. Journal of Theoretical, Computational and Applied Mechanics, (6828):1–18, 2021

[AFPM23] A. Amor, A. Fernandes, J. Pouget and C. Maurini, Nonlinear dynamics and snap-through regimes of a bistable buckled beam excited by an electromagnetic Laplace force, European Journal of Mechanics/A Solids, 98, 104834 (2023)

[AFP22] A. Amor, A. Fernandes and J. Pouget, Numerical and experimental investigations of bistable beam snapping using distributed Laplace force, Meccanica 57 (1), 109–119, 2022.

[GPL21] A. Grandi, S. Protière, A. Lazarus. Enhancing and controlling parametric instabilities in mechanical systems. Extreme Mechanics Letters, 43:101195, 2021. 

3. Réduction dimensionnelle asymptotique

Les méthodes asymptotiques sont très utilisées au laboratoire pour étudier les modèles réduits 1D en élasticité, et ce depuis de nombreuses années. Les travaux actuels généralisent les techniques asymptotiques classiques et permettent d’écrire des modèles 1D variationnels (poutres, poutres en voile mince, rubans) à partir de l’élasticité nonlinéaire 3D ou de modèles de coques nonlinéaires, prenant en compte des effets d’ordre élevé (gradient des déformations) [AL21]. En dérivant des modèles 1D de manière formelle, ces travaux fournissent un point de départ aux approches en gamma-convergence qui permettent quant à elles d’établir des preuves rigoureuses. Une contribution récente dans cette direction permet de généraliser les équations de Vlasov pour un matériau constitutif anisotrope et hétérogène en élasticité linéaire [BM19] (Figure 4).

En parallèle des développemens de modèles théoriques [AL21], les chercheurs de l’équipe travaillent à leur implémentation numérique [CBNR20], parfois en interaction avec la communauté d’informatique graphique (E. Grinspun U. of Toronto, F. Bertails INRIA-Grenoble).

La variété des sujets traités (effet Brazier, striction capillaire, ruban mesureur, ruban comme modèle intermédiaire entre poutres et plaques, ruban de Moebius, flambage latéral sous torsion) illustre la flexibilité des techniques asymptotiques, qui peuvent s’appliquer à de très nombreux problèmes pratiques dans des domaines d’applications récents tels que la conception de structures déployables ou la robotique souple.

Figure 4 : (gauche) Equilibre d’un ruban de Moebius et sa zone de singularité, (droite) striction élastocapillaire modélisée par un modèle asymptotique 1D à gradient (le terme de gradient permet de reproduire très précisément la localisation de la déformation axiale).

[BM19] P. Ballard, B. Miara, Formal asymptotic analysis … Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S, 12:6 (2019) pp 1547-1588.

[AL21] B. Audoly, C. Lestringant, Asymptotic derivation of high-order rod models from non-linear 3D elasticity, J. Mech. Phys. Sol., 148 (2021) 104264.

[CBNR20] R. Charrondière, F. Bertails-Descoubes, S. Neukirch, and V. Romero. Numerical modeling of inextensible elastic ribbons with curvature-based elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 364 (2020) 112922.